चलती - औसत - फिल्टर लाभ

औसत चल रहा है। यह उदाहरण आपको सिखाता है कि Excel में एक समय श्रृंखला की चलती औसत की गणना कैसे की जा सकती है एक चलती औसत का प्रयोग रुझानों को आसानी से पहचानने के लिए चोटियों और घाटियों को आसानी से करने के लिए किया जाता है। सबसे पहले, हम अपने समय की श्रृंखला देखें। डेटा टैब पर, डेटा विश्लेषण पर क्लिक करें। नोट डेटा विश्लेषण बटन नहीं ढूंढ सकता विश्लेषण टूलपैक ऐड-इन को लोड करने के लिए यहां क्लिक करें। चलना औसत चुनें और OK.4 पर क्लिक करें। इनपुट रेंज बॉक्स में क्लिक करें और सीमा B2 M2 चुनें। 5 अंतराल बॉक्स में क्लिक करें और टाइप करें 6.6 आउटपुट रेंज बॉक्स में क्लिक करें और सेल का चयन करें B3.8 इन मानों का ग्राफ़ करें। एक्सप्लैनेशन क्योंकि हम अंतराल को 6 निर्धारित करते हैं, चल औसत औसत पिछले 5 डेटा बिंदुओं का औसत है और वर्तमान डेटा बिंदु, नतीजतन, चोटियों और घाटियों को सुखाया जाता है ग्राफ बढ़ती हुई प्रवृत्ति को दर्शाता है एक्सेल पहले 5 डेटा बिंदुओं के लिए चलती औसत की गणना नहीं कर सकता क्योंकि वहां पर्याप्त पिछले डेटा बिंदु नहीं हैं। दोहराव 2 से 8 अंतराल के लिए दोहराएं और अंतराल 4. सम्मेलन ला अंतराल को रगड़ना, अधिक चोटियों और घाटियों को कम किया जाता है अंतराल के छोटे, चलती औसत वास्तविक डेटा बिंदुओं के करीब हैं। एक फिल्टर के रूप में चलने की औसत। चलती औसत अक्सर अकसर किये जाने वाले डेटा की उपस्थिति में डेटा को चौरसाई करने के लिए उपयोग किया जाता है शोर सरल चलती औसत हमेशा परिमित इंपल्स रिस्पांस एफआईआर फिल्टर के रूप में नहीं पहचाना जाता है, जबकि यह वास्तव में सिग्नल प्रोसेसिंग में सबसे आम फिल्टर है, इसे फ़िल्टर के रूप में प्रयोग करने से इसकी तुलना करने की अनुमति मिलती है, उदाहरण के लिए, विंडोड-सिंक फिल्टर उन पास के उदाहरणों के लिए निम्न-पास हाई-पास और बैंड-पास और बैंड-अस्वीकार फिल्टर के लेख देखें, उन फ़िल्टरों के साथ बड़ा अंतर यह है कि चलती औसत सिग्नल के लिए उपयुक्त है जिसके लिए उपयोगी जानकारी समय क्षेत्र में समाहित है जो औसत द्वारा माप को चौरसाई करना एक प्रमुख उदाहरण है Windowed-sinc फिल्टर, दूसरी तरफ, आवृत्ति डोमेन में मजबूत कलाकार ऑडियो प्रसंस्करण में समानता के साथ एक विशिष्ट उदाहरण है टाइम डोमेन बनाम फ़्रीक्वेंसी डोमेन प्रदर्शन के फिल्टर में दोनों प्रकार की फिल्टर की तुलना में अधिक विस्तृत तुलना करें यदि आपके पास डेटा है जिसके लिए दोनों समय और आवृत्ति डोमेन महत्वपूर्ण हैं, तो आप मूविंग औसत पर विविधताएं देख सकते हैं जो प्रस्तुत करता है चलती औसत के कई भारित संस्करण जो उस पर बेहतर होते हैं। लंबाई एन की चलती औसत को परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि इसे आमतौर पर लागू किया जाता है, वर्तमान आउटपुट नमूना के साथ पिछले एन नमूनों के औसत के रूप में देखा जाता है जो फ़िल्टर , चलती औसत पल्स के क्षेत्र को बनाने के लिए लम्बाई एन और ऊंचाई 1 एन की आयताकार पल्स के साथ इनपुट अनुक्रम xn का एक संकुचन करता है, और, इसलिए, फिल्टर का लाभ, एक अभ्यास में, इसे लेने के लिए सबसे अच्छा है एन अजीब हालांकि एक चल औसत को भी नमूनों की एक भी संख्या का उपयोग करके गणना की जा सकती है, एन के लिए एक अजीब मूल्य का उपयोग करके लाभ का फायदा यह है कि फिल्टर की देरी एक पूर्णांक संख्या में नमूनों की होगी, क्योंकि एन नमूनों के साथ फ़िल्टर की देरी है exa ctly N-1 2 चलती औसत फिर मूल आंकड़ों के साथ एक नमूने की एक पूर्णांक संख्या द्वारा स्थानांतरित कर सकते हैं। समय डोमेन। चलती औसत एक आयताकार नाड़ी के साथ एक गुच्छा है, इसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया एक sinc फ़ंक्शन है यह खिड़की-सिंक फिल्टर के दोहरे की तरह कुछ बनाता है, क्योंकि यह एक सिंक नाड़ी के साथ एक संकुचन है जो आयताकार आवृत्ति प्रतिक्रिया में परिणामस्वरूप होता है। यह एक sinc आवृत्ति प्रतिक्रिया है जो कि चल औसत को आवृत्ति डोमेन में एक खराब कलाकार बनाता है। हालांकि, यह समय डोमेन में बहुत अच्छी तरह से प्रदर्शन करता है इसलिए, शोर को हटाने के लिए डेटा को चिकना करने के लिए एकदम सही है, जबकि अभी भी तेज गति से प्रतिक्रिया रखते हुए चित्रा 1 चित्रा 1। फिक्चर 1 चलती औसत फिल्टर के साथ चौरसाई। ठेठ Additive व्हाट गाऊसी शोर AWGN के लिए जिसे अक्सर मान लिया जाता है, एन सैंपल का औसत से एसक्यूआर एनआरआर को एसक्यूआर के बढ़ने का असर होता है क्योंकि व्यक्तिगत नमूनों के लिए शोर असंबंधित होता है, प्रत्येक नमूना अलग-अलग व्यवहार करने का कोई कारण नहीं होता है tly इसलिए, चलती औसत, जो प्रत्येक नमूना एक ही वजन देता है, एक दिए गए कदम प्रतिक्रिया तीक्ष्णता के लिए शोर की अधिकतम राशि से छुटकारा पायेगा। क्योंकि यह एक एफआईआर फिल्टर है, चलती औसत रूपांतरण के माध्यम से लागू किया जा सकता है यह किसी भी अन्य एफआईआर फिल्टर के रूप में एक ही दक्षता या कमी है, हालांकि, इसे एक बहुत ही कुशल तरीके से, फिर से लागू किया जा सकता है यह परिभाषा से सीधे होता है। यह सूत्र yn और yn 1 के लिए अभिव्यक्ति का परिणाम है I जहां हम नोटिस करते हैं कि yn 1 और yn के बीच का परिवर्तन यह है कि एक अतिरिक्त शब्द xn 1 N अंत में प्रकट होता है, जबकि शब्द एक्स एनएन 1 एन शुरुआत से हटा दिया जाता है, व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, यह अक्सर विभाजन को छोड़ना संभव होता है किसी अन्य स्थान पर एन के परिणामी लाभ के लिए क्षतिपूर्ति करके हर अवधि के लिए एन द्वारा यह पुनरावर्ती क्रियान्वयन रूपांतरण के मुकाबले बहुत तेज हो जाएगा Y के प्रत्येक नए मान को केवल दो जोड़ों के साथ गणना किया जा सकता है, जो इसके लिए आवश्यक होगा। परिभाषा का सीधा कार्यान्वयन एक पुनरावर्ती कार्यान्वयन के साथ देखने के लिए एक चीज यह है कि गोलाकार त्रुटियां जमा हो जाएंगी यह आपके आवेदन के लिए एक समस्या या हो सकती है, लेकिन इसका यह भी अर्थ है कि यह पुनरावर्ती कार्यान्वयन वास्तव में एक पूर्णांक कार्यान्वयन के साथ बेहतर काम करेगा फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के साथ यह काफी असामान्य है क्योंकि एक अस्थायी बिंदु का कार्यान्वयन आमतौर पर सरल होता है। इस सब का निष्कर्ष होना चाहिए कि आपको सिग्नल प्रोसेसिंग एप्लीकेशन में सरल चलती औसत फिल्टर की उपयोगिता को कम करके देखना चाहिए। फ़िलटर डिज़ाइन टूल। यह आलेख एन के लिए अलग-अलग मानों के साथ एक फ़िल्टर डिजाइन उपकरण प्रयोग से पूरित है और परिणामस्वरूप फिल्टर की कल्पना करें। अब इसे आज़माएं। एफआईआर फिल्टर, आईआईआर फिल्टर, और रैखिक निरंतर-समेकित अंतर समीकरण। मौलिक औसत एफआईआर फ़िल्टरों को चलाना। हम उन प्रणालियों में चर्चा की हैं जिनमें प्रत्येक आउटपुट का नमूना इनपुट के नमूनों में से कुछ का भारित योग है अस्सीय राशि प्रणाली, जहां कारण का अर्थ है कि दिए गए आउटपुट का नमूना पहले के इनपुट नमूने और अन्य आदानों पर पहले से ही अनुक्रम में निर्भर करता है न तो सामान्य तौर पर रेखीय प्रणाली, न ही विशेष रूप से परिमित आवेग प्रतिक्रिया प्रणालियों को विशेष रूप से कारण होना चाहिए, हालांकि, कारण के लिए सुविधाजनक है एक तरह का विश्लेषण जो हम जल्द ही तलाशने जा रहे हैं। यदि हम एक वेक्टर x के मूल्य के रूप में इनपुट का प्रतीक रखते हैं और एक वेक्टर वाई के समान मूल्य के रूप में आउटपुट देखते हैं तो ऐसी प्रणाली को लिखा जा सकता है। जहां बी मानों को लागू किया जाता है मौजूदा आउटपुट नमूने पाने के लिए वर्तमान और पहले इनपुट नमूने हम एक समीकरण के रूप में अभिव्यक्ति के बारे में सोच सकते हैं, बराबर चिह्न अर्थ बराबर या प्रक्रियात्मक निर्देश के रूप में, बराबर चिन्ह अर्थ असाइनमेंट के साथ। प्रत्येक आउटपुट के लिए अभिव्यक्ति लिखिए नमूना एक असाइनमेंट स्टेटमेंट के MATLAB लूप के रूप में, जहां एक्स एन-लांबी के इनपुट नमूनों का है, और बी है भार का एक एम-लेंस वेक्टर शुरुआत में विशेष मामले से निपटने के लिए, हम एम्बेड करेंगे x एक लंबे समय से वेक्टर एक्सहट में, जिनके पहले एम -1 नमूनों शून्य हैं। हम एक आंतरिक उत्पाद के रूप में प्रत्येक yn के लिए वेटेड समीकरण लिखेंगे, और इस अंत में बी को पीछे करने जैसे इनपुट के कुछ जोड़ूंगा करेंगे। इस तरह की प्रणाली स्पष्ट कारणों के लिए अक्सर चलती औसत फिल्टर कहा जाता है। हमारे पहले चर्चाओं से, यह स्पष्ट होना चाहिए कि ऐसी प्रणाली रैखिक और बदलाव-अपरिवर्तनीय है, यह हमारे माफ़ील्ट के बजाय MATLAB कनवर्लिशन फ़ंक्शन रूपांतरण का उपयोग करने के लिए बहुत तेज होगा। इनपुट के पहले एम -1 नमूनों को शून्य मानने के बजाय, हम उन्हें पिछले एम-1 नमूनों के समान माना जा सकता है यह इनपुट के रूप में आवधिक रूप से इलाज के समान है, हम इसके नाम के रूप में cmafilt का प्रयोग करेंगे फ़ंक्शन, पहले माफिलेट फ़ंक्शन का एक छोटा संशोधन एक प्रणाली के आवेग प्रतिक्रिया को निर्धारित करने में, इन दोनों के बीच आमतौर पर कोई अंतर नहीं होता है, क्योंकि इनपुट के सभी गैर-प्रारंभिक नमूने शून्य होते हैं। चूंकि इस प्रकार की प्रणाली रैखिक और बदलाव होती है - विमान, हम जानते हैं कि इसकी ई किसी भी प्रकार के sinusoid पर असर केवल पैमाने पर और इसे बदलाव के लिए किया जाएगा यहाँ यह मायने रखता है कि हम परिपत्र संस्करण का उपयोग करते हैं। परिपत्र-रूपांतरित संस्करण को स्थानांतरित किया जाता है और थोड़ा बढ़ाया जाता है, जबकि सामान्य रूपांतरण के साथ संस्करण शुरू में विकृत हो जाता है। सटीक स्केलिंग और स्थानांतरण एक fft का उपयोग करके होता है। दोनों इनपुट और आउटपुट में केवल 1 और -1 के आवृत्तियों पर आयाम है, जो कि जैसा होना चाहिए, यह देखते हुए कि इनपुट एक sinusoid था और सिस्टम रैखिक था आउटपुट मान अधिक से अधिक है 10 6251 8 1 3281 का अनुपात यह प्रणाली का लाभ है। चरण के बारे में क्या हमें केवल देखने की जरूरत है कि आयाम शून्य शून्य है। इनपुट में 2 का एक चरण है, जैसा कि हमने अनुरोध किया है कि आउटपुट चरण स्थानांतरित हो जाता है नकारात्मक फ़्रीक्वेंसी के लिए विपरीत चिह्न के साथ एक अतिरिक्त 1 05 9 9, या सही के चक्र के बारे में 1 6, जैसा कि हम ग्राफ पर देख सकते हैं। अब हम उसी आवृत्ति 1 के साथ एक sinusoid की कोशिश करते हैं, लेकिन आयाम 1 और चरण 2 pi, चलो आयाम 1 5 और चरण 0 का प्रयास करें। हम जानते हैं कि केवल आवृत्ति 1 एक डी -1 में गैर-शून्य आयाम होगा, तो बस उन्हें देखें। आयाम अनुपात 15 9 377 12 0000 1 3281 है - और चरण के लिए 1 1 9 05 तक फिर से स्थानांतरित किया जाता है। यदि ये उदाहरण सामान्य हैं , हम भविष्यवाणी कर सकते हैं कि हमारे सिस्टम इंप्रेशन प्रतिक्रिया के प्रभाव 1 2 3 4 5 आवृत्ति 1 के साथ किसी भी प्रकार के sinusoid पर - आयाम 1 3281 के एक कारक से बढ़ाया जाएगा और सकारात्मक आवृत्ति चरण 1 0594 से स्थानांतरित किया जाएगा। हम जा सकते हैं पर इसी प्रणाली द्वारा अन्य आवृत्तियों के sinusoids पर इस प्रणाली के प्रभाव की गणना करने के लिए लेकिन एक बहुत आसान तरीका है, और जो सामान्य बिंदु को स्थापित करता है, क्योंकि समय के समय में परिपत्र कनवल्वाइजेशन आवृत्ति डोमेन में गुणा है, से.इस प्रकार दूसरे शब्दों में, आवेग प्रतिक्रिया का डीटीटी इनपुट के डीएफटी में डीएफटी का अनुपात है। इस रिश्ते में। डीएफटी गुणांक जटिल संख्याएं हैं चूंकि पेट सी 1 सी 2 एबीसी सी 1 एबीसी सी 2 सभी जटिल संख्याओं के लिए सी 1, सी 2, यह समीकरण हमें बताता है कि टी के आयाम स्पेक्ट्रम वह आवेग प्रतिक्रिया हमेशा उत्पादन के आयाम स्पेक्ट्रम का इनपुट के रूप में अनुपात का अनुपात होगा। चरण के स्पेक्ट्रम के मामले में, कोण सी 1 सी 2 कोण सी 1 - सभी सी 1 के लिए कोण सी 2, सी 2, प्रावधान के साथ, जो कि चरणों में भिन्न होता है 2 पीआई बराबर माना जाता है इसलिए आवेग प्रतिक्रिया का चरण स्पेक्ट्रम हमेशा आउटपुट के चरण स्पेक्ट्रा के बीच का अंतर होगा और इनपुट के साथ-साथ पीई और पीआई के बीच के परिणाम को बनाए रखने के लिए आवश्यक 2 पाई के साथ इनपुट भी हो सकता है। चरण प्रभाव अधिक स्पष्ट रूप से यदि हम चरण के प्रतिनिधित्व को खोलते हैं, यानी अगर हम 2 पलों के विभिन्न गुणकों को जोड़ते हैं, तो जंप्स को कम करने के लिए आवश्यक होते हैं जो कोण फ़ंक्शन के आवधिक प्रकृति द्वारा उत्पादित होते हैं। हालाँकि आयाम और चरण आम तौर पर ग्राफिकल और यहां तक ​​कि सारणीबद्ध प्रस्तुति, क्योंकि वे अपने इनपुट के विभिन्न आवृत्ति घटकों पर एक प्रणाली के प्रभावों के बारे में सोचने के लिए एक सहज ज्ञान युक्त तरीका हैं, जटिल फूरियर गुणांक अधिक बीजगणितीय उपयोगी होते हैं, क्योंकि वे रिश्ते की अभिव्यक्ति की अभिव्यक्ति। हमने देखा है कि सामान्य दृष्टिकोण, स्केच प्रकार के मनमाने ढंग से फिल्टर के साथ काम करेगा, जिसमें प्रत्येक आउटपुट नमूना इनपुट नमूनों के कुछ सेट का भारित योग है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, ये अक्सर परिमित आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है फिल्टर, क्योंकि आवेग प्रतिक्रिया परिमित आकार का है, या कभी-कभी औसत फिल्टर चल रहा है। हम अपने आवेग प्रतिक्रिया के एफएफटी से इस तरह की फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया विशेषताओं को निर्धारित कर सकते हैं, और हम नए फ़िल्टर को IFFT द्वारा वांछित विशेषताओं से भी डिज़ाइन कर सकते हैं। फ़्रिक्वेंसी रिस्पॉन्स के विनिर्देशन। अन्वेषक आईआईआर फ़िल्टर। एफआईआर फिल्टर के नाम रखने में कोई बात नहीं होगी, जब तक कि उनको अलग करने के लिए कुछ अन्य प्रकार नहीं होते, और इसलिए जो लोग व्यावहारिक अध्ययन करते हैं, उन्हें यह जानकर हैरानी नहीं होगी कि वास्तव में एक अन्य प्रमुख प्रकार की रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर। इन फिल्टर को कभी-कभी पुनरावर्ती कहा जाता है क्योंकि पिछले आउटपुट के साथ-साथ पिछले आदानों का मान मामलों, हालांकि एल्गोरिदम आमतौर पर चलने वाले निर्माणों का उपयोग कर लिखे जाते हैं, उन्हें अनंत इंपल्स रिस्पांस आईआईआर फिल्टर भी कहा जाता है, क्योंकि आम तौर पर एक आवेग के प्रति उनका उत्तर हमेशा से चलता रहता है क्योंकि इन्हें कभी-कभी आटोमैरेसिव फिल्टर भी कहा जाता है, क्योंकि गुणांक को परिणाम के रूप में माना जा सकता है रेखीय प्रतिगमन करने के लिए पहले संकेत मूल्यों के एक समारोह के रूप में संकेत मूल्यों को अभिव्यक्त करने के लिए। एफआईआर और आईआईआर फिल्टर के रिश्ते को एक रेखीय स्थिरांक-गुणांक अंतर समीकरण में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, I ई। भारित योग के बराबर आउटपुट आदानों का यह समीकरण है जो हमने पहले से ही कारण एफआईआर फिल्टर के लिए दिया था, सिवाय इसके कि भारित राशि के अलावा, हमारे पास भारोत्पादित योग भी होता है। यदि हम इसके बारे में सोचते हैं कि आउटपुट बनाने के लिए एक प्रक्रिया है नमूने, हमें वर्तमान आउटपुट नमूना y के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। कन्वेंशन का उपयोग करते हुए 1 1 जैसे अन्य और बीएस स्केलिंग के द्वारा, हम 1 ए 1 टर्म से छुटकारा पा सकते हैं। संयुक्लब 1 एक्सएनबी 2 एक्स एन -1 बी एनबी 1 एक्स एन-एनबी - एक 2 y एन-1 - - ना 1 वाई एन-ना। यदि सभी 1 के अलावा अन्य शून्य हैं, यह हमारे पुराने दोस्त को कारण एफआईआर फिल्टर को कम कर देता है। यह एक कारण एलटीआई फिल्टर का सामान्य मामला है, और MATLAB फ़ंक्शन फ़िल्टर द्वारा कार्यान्वित किया जाता है। इस मामले को देखें, जहां बी 1 के अलावा बी गुणांक शून्य है एफआईआर मामले की जगह, जहां शून्य होते हैं। इस मामले में, वर्तमान आउटपुट नमूना yn को वर्तमान इनपुट नमूने xn के भारित संयोजन और पूर्व आउटपुट नमूने y n-1, y n-2, आदि के रूप में गणना की जाती है। ऐसे फिल्टर के साथ क्या होता है, यह विचार प्राप्त करें कि हम इस मामले से शुरू करते हैं। यही है, वर्तमान आउटपुट का नमूना वर्तमान इनपुट नमूना का योग है और पिछला आउटपुट नमूना है। हम कुछ समय के माध्यम से एक इनपुट आवेग ले लेंगे एक बार में एक कदम। यह इस बिंदु पर स्पष्ट होना चाहिए कि हम आसानी से nth आउटपुट नमूना मान के लिए एक अभिव्यक्ति लिख सकते हैं यह सिर्फ है। यदि मैटलबिल 0 से गिना जाता है, तो यह केवल 5 एन होगा। चूंकि हम जो गणना कर रहे हैं वह प्रणाली का आवेग प्रतिक्रिया है, हमने उदाहरण से प्रदर्शन किया है कि आवेग प्रतिक्रिया में असीम रूप से कई गैर-शून्य नमूनें हो सकती हैं। इस तुच्छ पहले को लागू करने के लिए MATLAB में ऑर्डर फिल्टर, हम फिल्टर का इस्तेमाल कर सकते हैं कॉल इस तरह दिखेगा। और इसका परिणाम है। यह व्यवसाय वास्तव में अभी भी रैखिक है। हम इस पर अनुभव कर सकते हैं। अधिक सामान्य दृष्टिकोण के लिए, एक आउटपुट नमूने के मूल्य पर विचार करें एन। लगातार प्रतिस्थापन के द्वारा हम इसे इस रूप में लिख सकते हैं। यह हमारे पुराने दोस्त की तरह ही एक एफआईआर फिल्टर का रूपांतरण-राशि है, अभिव्यक्ति 5 के द्वारा प्रदान की गई आवेग प्रतिक्रिया के साथ और आवेग प्रतिक्रिया की लंबाई अनंत होने के साथ ही यही है तर्क है कि हम यह दिखाते थे कि एफआईआर फिल्टर रेखीय थे जो अब लागू होंगे। अब तक यह बहुत ज्यादा उपद्रव जैसा नहीं लग सकता है इस पूरी रेखा की जांच किस लिए अच्छी है। हम इस प्रश्न के चरणों में उत्तर देंगे, एक उदाहरण। यह एक नहीं है बड़ा आश्चर्य है कि हम पुनरावर्ती गुणा द्वारा एक नमूना घातीय की गणना कर सकते हैं चलो एक पुनरावृत्त फ़िल्टर को देखते हैं जो कुछ कम स्पष्ट करता है इस समय हम इसे दूसरी ऑर्डर फ़िल्टर बनाते हैं, ताकि फ़िल्टर करने के लिए कॉल फॉर्म हो। दूसरी आउटपुट गुणांक ए 2 से -2 कॉस 2 पी 40, और तीसरे आउटपुट गुणांक को ए 3 से 1 सेट करें, और आवेग प्रतिक्रिया को देखो। वास्तव में एक फिल्टर के रूप में बहुत उपयोगी नहीं है, लेकिन यह एक आवेग से एक नमूना साइन लहर उत्पन्न करता है प्रति नमूना तीन गुणा-जोड़ देता है, यह समझने के लिए कि यह कैसे और क्यों करता है, और अधिक आम मामलों में पुनरावृत्त फ़िल्टर कैसे तैयार किए जा सकते हैं और उनका विश्लेषण किया जा सकता है, हमें पीछे हटने और जटिल संख्याओं के कुछ अन्य गुणों को देखने की जरूरत है, जेड बदलने को समझने के रास्ते पर